多元复合函数与隐函数求导
陆生琪
【摘 要】本文针对一道多元抽象复合函数的求导过程中易出现的错误解法进行分析，采用链式求导法，隐函数方程求导法，利用全微分形式的不变性求微分法对该题进行了研究。
【关键词】多元抽象函数；隐函数；微分；求导
多元抽象复合函数的求导是高等数学教学中的一个重点和难点。和一元函数相比，多元抽象复合函数由于中间变量和自变量多数情况下不止一个，往往采用链式法则求导。求导过程中需要注意各个变量之间的依赖关系及函数结构，其关鍵在于分清函数自变量、中间变量之间的关系。而当多元抽象复合函数遇上隐函数时，学生在做题时就更加觉得困难且容易出错。本文针对高等数学教材上的一道习题采用三种不同的解法，从而有效的引导学生对多元抽象复合函数求导更好的理解。
例：设y=f（x，t），而t=t（x，y）是由方程F（x，y，t）=0所确定的函数，其中f，F都具有一阶连续偏导数，求。
这是高等数学中的一道习题，学生在做此题时经常会出现如下共性的错误：
[错解]由y=f（x，t），得到
又由F（x，y，t）=0，则有，于是
错因分析：由题设我们知道t=t（x，y）是由方程F（x，y，t）=0所确定的x，y的函数，将其代入到y=f（x，t）中，则有y=f[x，t（x，y）]由这一方程又可以确定y是自变量x的一元函数y=y（x），于是t=t（x，y）=t[x，y（x）]，这说明t可以看作是以x，y为中间变量，以x为自变量的一元函数，上式错解中的等式是不成立的，应为，从中可以解出。本题学生给出的错解究其原因是没有仔细分清x，y，t三个变量之间的关系，三个变量是你中有我，我中有你，只有厘清他们的关系，才能给出正确解答。在教学的过程中，我们可以通过不同的角度方法来分析解决此类多元抽象函数的求导。下面我们从三个角度给出此题的正确解法。
[正确解答]方法1 首先分析变量间的函数关系，把t看作是由方程F（x，y，t）=0所确定的二元函数t=t（x，y），则有：
将t=t（x，y），代入函数y=f（x，t），得y=f[x，t（x，y）]，两端同时对x求导得：
从中得到：
前面的错解就是试图用这种方法求解，但对函数y=f（x，t）=f[x，t（x，y）]的结构没有弄清楚而造成的。
方法2 由题可知，所给问题中有两个方程、三个变量，则一般情况下由此方程组可以确定两个一元函数，可将其中一个变量选作自变量，而另外两个变量是它的函数。此题要求的是，于是自变量就已经选定了x，则y，t都是x的一元函数。
由方程组F（x，y，t）=0，y=f（x，t），确定两个一元函数y=y（x），t=t（x）将所给的两个方的两端对x求导，有：
解上面关于、的方程组可得：
方法3 利用全微分形式的不变性对两方程求微分有：
即
解上面的关于dy、dt的方程组，由克莱姆法则可得：
即有：
【参考文献】
[1]同济大学数学系编.高等数学[M].下册.北京：高等教育出版社，2013，4：89-90.
[2]薛志纯.高等数学辅导[M].北京：科学技术文献出版社，2001.9，214-215.
[责任编辑：田吉捷]
