本文来自“老顾谈几何”，作者顾险峰教授，雷锋网经顾险峰授权转载。
顾险峰教授，美国纽约州立大学石溪分校计算机系和应用数学系的终身教授，也是清华大学丘成桐数学科学中心访问教授。曾获美国国家自然科学基金CAREER奖，中国国家自然科学基金海外杰出青年奖（与胡事民教授合作），“华人菲尔茨奖”：晨兴应用数学金奖。
丘成桐先生和顾险峰博士团队，将微分几何，代数拓扑，黎曼面理论，偏微分方程与计算机科学相结合，创立跨领域学科“计算共形几何”，并广泛应用于计算机图形学，计算机视觉，几何建模，无线传感器网络，医学图像等领域。目前已经发表二百篇余篇国际论文，学术专著包括“Computational Conformal Geometry”（计算共形几何）， “Ricci Flow for Surface Registration and Shape Analysis”等。
以下是顾险峰教授著作的原文：
纽约长岛有着得天独厚的自然条件，这里气候温润，海岸线漫长。美丽的石溪大学坐落在长岛中部，坐拥一片私人海滩。这片海滩不为人知，空旷寂寥，深沉静谧。学校师生经常来这里沐浴海风，远眺大洋，特别在黄昏时分，在落日余晖中参省冥思，体悟自然真理。
1970年代初期，年轻的化学系助理教授Paul Lauterbur博士经常带着他的女儿来这里散步思考。有一天，三岁的小女孩在岸边捡到了一只微小的黑色蛤蜊，Paul为这只蛤蜊拍摄了人类历史上第一张活体断层图像。很可惜，短视的石溪大学拒绝为Paul的发明申请专利，专家们一致认为“这项发明可能带来的转让费不会弥补专利申请费。”最终，石溪失去了Lauterbur博士，也失去了经济上腾飞的一次机遇。历史是公正的，因为发明了核磁共振断层扫描技术，Paul Lauterbur博士于2003年获得诺贝尔医学奖。
数十年来，核磁共振技术和CT断层扫描技术彻底地革命了医学，医学影像技术使得医生可以直接看到病人体内，从而精准地进行诊断，制定治疗方案，检验治疗效果。很多病变都会诱发器官组织的变形，或者由器官变形所诱发，例如大脑皮层的萎缩退化诱导老年失智，各种肿瘤会在器官表面形成凸起，骨质流失会引起骨骼的变形。因此，医生可以通过精确比对器官的几何形状，来判断脏器是否反常；通过分析肿瘤的几何特征，来判断肿瘤的良性恶性。这些可以归结为医学影像的配准（registration）和分析（analysis）问题。
医学影像是一个非常庞大的学科，有种类繁多的计算方法。图像配准的方法也是异常丰富，理论严谨，富有实效。从基础的方法论角度而言，比较普适的主要有基于微分几何的方法，基于流体力学的方法和基于概率测度理论的方法。虽然，这些途径中问题提法、数学工具、计算机算法非常不同，但是最终都可以归结为几何偏微分方程，进而转换为变分优化问题。这三种方法各有优缺点，相辅相成，都有很大的实用价值。每种方法都在迅猛发展，分支众多。下面，我们简略讨论这三种方法的核心思想和最简单的算法。每一种方法深入下去，都是一片浩瀚的海洋。
微分几何方法
首先，我们从医学图像中提取我们感兴趣的器官，表示成二维曲面或者三维实体。例如，我们希望研究大脑皮层曲面。首先得到整个颅部的核磁共振断层扫描图像；然后对每个断层的图像进行分割（segmentation），将不同的组织进行区分，将骨骼、脑灰质、脑白质分开；其次，提取我们感兴趣的组织轮廓（contour），主要是脑灰质；然后将每个断层图像中的轮廓线摞在一起，组合成封闭曲面。当然，实际算法远比理想描述复杂得多，每一步都会引入大量的几何、拓扑误差，需要精细而严密的方法以提高稳定性和精度。
图1. 从医学图像中重建的大脑皮层曲面（王雅琳）
图2. 基于共形几何的曲面配准方法
图3. 曲面单值化
第二步，我们首先将标准空间的自同胚用拟共形映射（quasi-conformal map）来表述。所有的K-拟共形映射构成的空间具有紧性，可以保证解的存在性。每个自映射可以用Beltrami微分来表示，因此我们在Beltrami微分空间中对相应能量进行变分，构造能量极小序列，从而求得极限。这里问题的关键在于如何将限制条件用Beltrami微分来表示，和如何求得欧拉-拉格朗日方程。如果我们要求解是同胚，则Beltrami 微分的模小于1，如果我们要求解保持共形结构，则Beltrami微分和源曲面上的全纯二次微分作用为0，等等。很多时候，解的唯一性和正则性依赖于目标曲面上的高斯曲率。例如，曲面间度为1的调和映射，如果目标曲面上的高斯曲率处处为负，则必为微分同胚。再如，曲面间映射的任意同伦类中存在唯一的Teichmuller映射，使得曲面共形结构畸变最小。调和映照和Teichmuller映射在医学图像配准问题中被经常使用。在求解这些映射过程中，曲面的拓扑、黎曼度量和共形结构经常被灵活变化，从而达到最优的目的。
图4. 腰椎骨质流失测量，共形几何方法（雷诺明）
流场方法
大形变微分同胚度量映射（LDDMM）方法考虑空间中的流场，每个粒子在空中流动，每一刹那的流场用粒子的速度向量场来描述。固定时刻，粒子从起始位置到达终点位置，这给出了空间到自身的微分同胚。
欧氏空间的微分同胚变换群记为：
微分同胚群中的右不变距离为：
等价地，我们可以用流速场来表示同样的能量：
图5.孕期婴儿大脑皮层36周到43周的生长情况（Laurent Risser， LDDMM 方法）
概率测度方法
从根本层面上而言，CT图像和MRI图像反映的是人体内部组织的密度。由此，我们可以将医学图像的灰度值看成是概率测度。两个图像之间的匹配应该满足如下条件：密度相近的点彼此对应，每个原像点和其像点的距离尽量接近。从这个角度出发，人们提出了基于最优传输理论（optimal transportation theory）的图像匹配方法。
雅克比方程的解有无穷多个。每个映射的传输代价定义为：
我们的蒙日-安培方程：
图6. 大脑白质图像匹配（Allen Tannenbaum，最优传输方法）
小结
这三类方法基于不同的物理和几何的理解，所用的理论工具相距甚远，风格迥异，各有千秋。
基于微分几何的方法有着强烈的几何直观，只用黎曼度量，不需要流形在欧氏空间的嵌入，洗练简洁，严密普适，计算效率较高。但是需要比较抽象的黎曼几何概念，需要先从图像中提取器官曲面。基于流场的方法直接灵活，适用于各种数据类型，但是需要流形的嵌入，形变过程中曲面不允许自交。同时为了二维曲面匹配，需要计算三维背景空间的自同胚，计算量较大。基于最优传输的方法兼顾物理直觉，可向高维直接推广，但是所解方程高度非线性。另一方面，这几种方法具有内在的密切联系：最优传输的蒙日-安培方程和微分几何中的Alexandrov定理等价；最优传输存在流体力学的解释。总之，所有方法都是在微分同胚群中进行优化，问题具有本质的难度。
