线性代数简明教程
赵侯宇
【摘 要】线性代数是理工科专业学生的必修课程之一，具有内容抽象、推理严谨等特点，对培养学生的逻辑、推理能力具有不可替代的作用。文章分析了线性代数中出现的几道题目，为该课程的进一步教学改革和实践提供了一点思考。
【关键词】线性代数；教学改革
中图分类号：G624 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2018）04-0059-001
Teaching From Several Topics in Linear Algebra
ZHAO Hou-yu
（School of Mathematical Sciences，Chongqing Normal University，Shapingba 401331，China）
【Abstract】Linear algebra is one of the compulsory courses for science and engineering majors. It has the characteristics of abstraction and precise reasoning， which plays an irreplaceable role in cultivating students' logical and reasoning ability. The article analyzes several problems that appear in linear algebra， and provides some reflections on the further teaching reform and practice of this course.
【Key words】Linear algebra； Teaching reform
線性代数是大学理工科专业学习的一个重要组成部分，占据着重要位置[1-2]。在实际教学中，许多学生的解题能力得不到提高，对于线性代数概念定义较多，解题方式多样，导致学生产生厌学情绪，究其原因，是学生解题的思维能力没有得到很好的锻炼，或者说，学生没有很好地掌握所学的解题知识。因此，教师在实际的教学活动中，应多一些点拨和提醒，让学生在明白一道题目的解法时对解题关键的思想和方法也要掌握，明白具体思路，达到举一反三的目的。下面，我们将就几道具体例子[1]，说明解题思想在教师授课过程中的重要作用。
例1设P-1AP=∧，其中P=-1 -4 1 1，∧=-1 0 0 2，求A11.
分析：此题是学生学习了矩阵及其运算之后的一道计算题。主要考查学生对矩阵相似和对角矩阵性质的掌握程度，特别是注意到对角矩阵的有限次方只需要对处于对角线处的数字进行有限次方运算这个特点。如果学生掌握了这些，按照题目要求，学生应该能够顺利做出。
解：由题目可知A=P∧P-1，又因为A11=P∧11P-1，注意到∧11=-1 0 0 2048，因此
例2设
（2-λ）x+2x-2x=1，2x+（5-λ）x-4x=2，-2x-4x+（5-λ）x=-（λ+1），
问λ为何值时，此方程组有唯一解、无解或有无限多解？并在有无限多解时求其通解。
分析：此题是在学完矩阵的初等变换与线性方程组后的一道题目。教师在课堂上应重点讲解n元线性方程组Ax=b有解和无解的充分必要条件是什么，特别要针对该定理的应用进行重点讲解，通过几道例题加深该定理的理解。如果学生掌握了这些，那么本题便易于解决，主要应用n元线性方程组有解与无解的充要性定理完成。
解：对增广矩阵B=（A b）作初等行变换把其变成行阶梯形矩阵，有
当λ≠1且λ≠10时，R（A）=R（B）=3，方程组有唯一解；
当λ≠10时，R（A）=2<3=R（B），方程组无解；
当λ≠1时，R（A）=R（B）=1<3，方程组有无限多个解， 这时
B1 2 -2 10 0 0 00 0 0 0
由此得
x1=1-2x2+2x3，
其中x2，x3为自由变量，即xxx=c-2 1 0+c201+100，c，c为任意实数。
例3设n阶矩阵A满足A2=A，E为n阶单位矩阵，证明：R（A）+R（A-E）=n.
分析：此题是在学完矩阵的秩和向量组的线性相关性后的一道题目。教师在课堂上讲解矩阵的秩的时候，对于矩阵的秩的几个性质应加以重点解释和介绍。此题用到了矩阵和的秩小于等于矩阵秩的和，此外还用到若两个矩阵的乘积是n阶零矩阵，则这两个矩阵的秩的和小于等于n这个性质。学生在掌握了这些，便可从这两个性质入手证明此题。
证明：由已知A2=A有A（A-E）=0，利用若两个矩阵的乘积是n阶零矩阵，则这两个矩阵的秩的和小于等于n，即R（A）+R（A-E）≤n.
又因为A+（E-A）=E，利用矩阵和的秩小于等于矩阵秩的和有
n=R（E）≤R（A）+R（E-A）=R（A）+R（A-E）.
因此R（A）+R（A-E）=n.
通过上面几道例题的分析，我们可以看到对于线性代数这门课程解题的一些重要技巧和方法都是在熟练掌握线性代数课程内容的基础知识、基本概念后才能够实现的，这需要教师在课堂讲解时针对定理、概念进行细致分析、重点把握、积极引导，不断强化学生对具体定理、概念的理解和运用，使学生在解决问题时能有的放矢。
【参考文献】
[1]同济大学数学系编.工程数学线性代数（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2017.
[2]北京大学数学系前代数小组.高等代数（第4版）[M].北京：高等教育出版社，2013.
