激活思维的数学教学——从命题考查意谈日常数学教学从定义从定理...
李兆丰++张渊渊
摘 要：微积分是高等数学的主体内容，积分学又是微积分中一个重要的部分，而在大多数的教学实践中，往往更注重解题的技巧而不是去分析、思考和解决实际问题，不能体现出微积分这门课程的重要之处，更无法体现出微积分这一震撼心灵的伟大结晶。本文通过在定积分概念的讲解过程中如何引导学生思考，使学生能够理解基础知识，掌握解决问题的方法，进而达到提高学生创新能力的目的。
关键词：高等数学 理解性教学 数学思维的迁徙 积分学概念
中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2017）09（b）-0152-02
微积分学，或者数学分析，是人类思维的伟大成果之一。它处于自然科学和人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具[1]。高等数学是现代科学的基础，它的数学思想在自然科学与社会科学的各个领域中都随处可见，而作为高等院校理工科的一门重要的基础课程，高等数学又为后续课程提供必要的理论基础，因此，高等数学的教学至关重要。做为微积分的重要内容之一的积分学思想，最早可以追溯到古希腊阿基米德等人提出的计算面积和体积的方法，即“穷竭法”。这些数学家后来也逐步得到了一系列求面积（积分）的重要结果，但这些结果都是孤立的，不连贯的[2]。直到17世纪，数学家们发现了越来越多的诸如体积、面积及长度之间的计算的联系，后来，牛顿和莱布尼兹在众多的数学积累上发现了微分和积分之间的互逆运算，从而创立了微积分。定积分是积分学教学的一个重点，也是一个难点，在定积分的教学中，如何让学生深刻地理解“积分”这一数学本质，从而激发学生的想象力，培养学生的创新能力，为以后的学习打好基础，是值得研究的课题。本文以定积分的教学为例，谈谈如何在教学过程中，不仅能让学生学得数学知识，还能使学生从学习的过程中锻炼创新能力。
1 在定积分概念的教学过程中引导学生思考性学习
定积分的概念的引入不仅与极限和微分，还与后面的定积分的应用及重积分和曲线及曲面积分的学习有重要的联系，起着承上启下的作用。因此定积分的教学显得尤为重要，在定积分的概念的教学过程中，不仅仅是教给学生知识，更重要的是使得学生能用之解决实际问题，提高创新的能力。在定积分概念的引入中，大多数教材都是用计算曲边梯形的面积来说明的，教师在讲解这一部分内容时，可以通过提问的方式，分以下几个阶段进行：
（1）首先教师可以从常规的梯形的面积计算入手，继而提出一条边为曲边，其余三边是直边的不规则图形的面积的计算，最后在此基础上给出曲边梯形的定义，引导学生采用“大化小”的方法来计算其面积。此时可以延伸到圆的面积，我国数学家刘徽的割圆术也是采用的类似的算法的，同学们对于割圆术还是比较了解的，以此为例，学生就很容易理解了曲边梯形的计算思路。
（2）进一步细化概念，曲边梯形面积的计算重点是用直线代替曲线，即用一个小长方形的面积来代替小曲边梯形的面积，此时教师应该特别强调小曲边梯形是怎么分割出来的，即将整个区间任意无限分割为无穷多个小区间（每个小区间的长度都趋于0）。教师可以通过提问来了解学生的理解情况，比如可以问：为什么可以用直线来代替曲边？是用哪条直线代替的？能不能用斜线来代替曲线？误差多大？等等问题来引导学生。
（3）在学生理解了这种分割思想后，就可以给出曲边梯形面积的计算，即无限求和的极限。此时教师可以引入牛顿和莱布尼兹创立微积分的数学典故与积分符号的演变来加深学生对积分思想的理解。
在对曲边梯形的面积的计算有了初步的认识后，可以提出物理学里面的变速直线运动的位移的计算来进一步引导学生的理解。曲边梯形和位移虽然属于不同的学科，但从数学角度看，其计算的思路和结构式是一致的。此外，教师还可以结合不同的学科背景，列举不同的实例来加深学生的理解，比如在经济学中，在特定的一段时期内经济增长的总量；在人类学中，一段时间内人口的增长；在生物学中一段时间内细胞的繁殖总量等等都可以用类似的方法来解决。这种种例子的列举，不仅使学生学到了分析解决问题的方法，也使其体会到了数学无处不在，是人类认识自然的最伟大的成果。
教师通过对定积分概念的引入的细节的讲解，学生不仅学会了什么是定积分，也会用这种思想来解决其他类似的不规则的问题。通过教师的引导，学生自主分析问题，归纳问题进而解决问题，增加了学生的学习兴趣及主动性，为进一步的学习打下了良好的基础。正如Anderson[5]所认为：探究学习的本质特征是教师不把构成教学目标的有关概念、原理和认知策略直接告诉学生，而是设计一种智力和社会交往环境，让学生通过探索来发现有利于深入探索的这些内容和认知策略。
2 从定积分概念迁徙到重积分的过程中培养创新性
纵观微积分的发展史，每一个新的数学概念都是伴随这解决实际问题而出现的，所以在讲解数学概念之前，应充分引导学生更好地理解所待解决的实际问题，通过分析抽象出数学概念，反过来又用这一数学概念去解决新的类似的实际问题。如果教师在教学过程中一味追求解题的技巧性，只是把数学概念强加给学生而不加以联系实际和延伸，学生就会觉得很抽象突兀，在解决实际问题时也不能很好低应用。
教师在前面定积分概念的深入讲解中，使学生理解到“分割，近似，求和，求极限”这一积分思想后，就很容易延伸到后面的重积分概念的学习。理解数学即进一步要求学生在观念与意识深处真正融入数学的精髓，融入数学的文化内涵，形成数学思维的意识，最终获得终身受益的数学素养[4]。重积分的概念是定积分从二维空间到三维空间的延伸，其解决问题的数学思想具有一致性。二重积分的概念是以计算曲顶柱体的体积为例引入的，教师在讲解过程中，可以引导学生与定积分的概念做类比，通过二重积分的概念进一步提高学生创新思维能力，完成数学知识的迁徙。在学生理解了这种积分思想体系后，可以适当引导学生往不同的学科领域的延伸，比如物理学中平面铁片的质量即可用二重积分来计算，而立体的质量又与三重积分的概念相关等等。学生在不断的类比学习之中，一方面可以更深刻地理解积分思想，另一方面可以在不同的学科知识迁徙之中培养较高的创新性，提高解决实际问题的能力。
3 结语
微积分是人类文明最伟大的成果之一，其数学概念更是所含内容的精华浓缩。现代教育的主旋律是学生批判性思维与创造力的培养，对学生来说，学会学习是最基本的任务，会学比学会更重要。因此教师在教学过程中应充分引导学生去理解其精髓，发挥学生的主动性，启发学生的创新思维，用心体会数学的奥妙。只有真正理解了数学，才能培养出具有创新能力的人才。
参考文献
[1] 卡爾·B·波耶.微积分概念发展史[M].上海：复旦大学出版社，2007.
[2] [美]莫里斯.克莱因，古今数学思想（第二册）[M].上海：上海科学技术出版社，2009.
[3] 李彩凤.在高等数学教学中提高学生的辩证思维能力[J].广西教育，2013（10）：79.
[4] 吕林海.数学理解性学习与教学研究[M].上海：华东师范大学，2005.
[5] Anderson， L. W. International encyclopedia of teaching and teacher education. Pergamon： Elervier Service Ltd， Second Education. 109.endprint
