苏州科技学院光信息处理实验示范中心 -物理仿真实验
郑晓光++门克内木乐++于少雪++周敏++吕嘉泰++尹赵金
摘 要：光学信息处理具有速度高、容量大等优点。透镜傅里叶（Fourier）变换是其最核心方法之一。本文先给出Fourier变换光信息处理原理，并实现了对二维光栅图像进行不同方向上的狭缝滤波和圆孔光阑（低通）滤波处理的实验；再用Matlab软件对之进行了模拟仿真，模拟结果与实验结果相符，证明以此方法作为计算机辅助教学实验是可行的，不但能够加深学生对光信息处理原理的理解，同时还可以给出实际上难以实现的一些实验结果，如高通滤波、带通滤波和双孔滤波等。
关键词：光信息处理 Fourier变换 Matlab模拟 阿贝成像原理 空间滤波
中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2017）09（b）-0204-06
光学信息处理是近年来发展起来的一门新兴学科，指的是用光学的方法实现对输入信息的各种变换或处理。与其他形式的信息处理技术相比，光学信息处理具有高度并行性和大容量的特点。这一学科发展很快，现在已经在许多领域进入了实用阶段[1-3]。
光学信息处理的内容十分丰富。然而透镜的傅里叶变换效应，即阿贝二次成像理论，是光学信息处理的理论核心。1873年德国科学家阿贝（E.Abbe）提出二次成像理论[4]。阿贝本人和波特（Porter）分别于1893年、1906年用实验验证了阿贝成像原理，称为阿贝一波特空间滤波实验[5]。阿贝成像理论不仅用傅里叶变换阐述了透镜成像的机理，更重要的是首次引入频谱的概念，对频谱的分析和综合的原理做出了深刻的解释，启发人们用改造频谱的手段来改造信息，直到今天在图像处理中仍然有广泛的应用价值[6]。
但是傅里叶光信息处理实验中，由于受实验条件的制約，往往不能取得预期的效果，同时有些特殊的信息处理方法实验很难实现[7]。而通过计算机模拟辅助实验的手段，不但可以获得更加精确的实验效果图，而且还可以不受实验仪器的限制仿真一些实际很难观测到的现象，同时滤波器参数的随意替换可以让学生更为灵活地观察到比真实实验更多的实验现象[8]，让学生更好的理解傅里叶光信息处理原理，提高学习兴趣。
MATLAB是美国MathWorks公司于1984年推出的一套高性能和可视化软件，像C语言一样，是一种十分有名的计算机语言[9]。它集数值分析、矩阵运算、信号处理、建模仿真和图形显示等为一体，构成了一个方便的、接口友好的用户环境[8]。在Matlab中，有很多现成的函数可以直接调用，而且在计算方面，可以直接用相应的计算符号即可，因此人们首先称之为演算纸式语言。
本论文通过阿贝-波特空间滤波实验，解释了光学Fourier变换及光信息空间频谱滤波处理的原理，并通过Matlab软件对Fourier光信息处理过程进行了仿真模拟，并与实验结果进行了比较。之前相关文章要么只有计算机模拟，要么只有实验，我们至今没有发现将实验与模拟放在一起进行对比的文章。
1 实验原理、方法与结果
1.1 实验原理
阿贝成像理论将物看成不同空间频率信息的集合，透镜的成像过程可以分为两步，如图1所示。第一步是入射光场经物平面O发生夫琅禾费衍射，在透镜L1后焦面F（即空间频谱面）上形成衍射斑阵列，称为空间频谱或傅立叶频谱，这是衍射所引起的“分频”作用；第二步是各衍射斑作为新的次波源发出球面次波（即不同空间频率的各光束），在像面Q上叠加相干，形成物体的像，这是干涉所引起的“合成”作用。
阿贝成像理论中的成像过程的这两步本质上就是两次傅立叶变换。我们通过增加一个透镜，如图2所示（阿贝—波特空间滤波实验光路），可以将阿贝成像理论更加具体化。物面O置于透镜L1的前焦面，像面I置于透镜L2的后焦面，L1的后焦面和L2的前焦面重合，从而形成4f系统。L1和L2分别起分频和合频的作用。
在物平面上光场复振幅分布为O（x，y），L1后焦面上形成的光斑阵列复振幅为F（ξ，η），当L1的孔径无限大时，F（ξ，η）是O（x，y）的傅里叶变换，即空间频谱，这是L1所引起的“分频”作用：
（1）
在像平面上光场复振幅分布为I（x'，y'）。同样，当L2的孔径无限大时，I（x'，y'）是F（ξ，η）的傅里叶逆变换，这是L2所引起的“合频”作用：
（2）
如果在光学系统的频谱平面F上放置空间滤波屏，并设其复振幅透射函数为T（ξ，η），则透过屏的光场复振幅分布为：
（3）
经过透镜L2后，在像平面上便得到经过滤波屏调制后的输出图像的光场复振幅分布：
（4）
在光学系统频谱面F上放置各种空间滤波器，对光学图像信号进行滤波，提取或加强所需的图像（信号），滤掉或抑制不需要的图像（噪声），并进行透镜傅里叶逆变换输出处理后的图像。这就是光学信息处理的基本原理。
1.2 实验方法
我们的傅里叶光信息处理实验光路如图3所示。实验中用的光源为氦氖激光器，由扩束准直器BE扩束后照射到物O上。物O为二维网格状光栅，物O、CCD光敏面以及透镜L1和L2之间形成4f系统，空间滤波器（狭缝或光阑）A置于频谱面上。此时，CCD光敏面上可以拍摄到输出的处理后图像。如果将L2用透镜L3（f2=2f3）更换掉，在CCD光敏面上可以拍摄到对应的功率谱（频谱面上光强分布）等大像。
1.3 实验结果
实验结果如图4所示，图4（a1～g1）都是频谱面上的功率谱图（傅里叶变换图，放置透镜L3时拍摄到的），图4（a2～g2）是对应的计算机模拟图，图4（a3～g3）是（a1～g1）不同空间频率的各光束叠加相干成的像（反傅里叶变换，处理后图像，放置透镜L2时拍摄到的），图4（a4～g4）是对应的计算机模拟图。
去掉光阑，拍摄到的功率谱和成像如图4-a1和4-a3所示。如果信息在傅里叶变换过程中没有损失，则像平面所得的像和物完全相似，如计算结果图4-a4所示。但是实验成像结果如图4-a3所示，方格边界较模糊，这是由于透镜的孔径是有限的，有一部分衍射角度较大的高频信息不能进入物镜L1而被丢弃了，所以物所包含的超过一定空间频率的信息就无法反应到像上。这是显微镜分辨率受到限制的根本原因。endprint
调整光阑为竖直狭缝，使只有竖直的光谱的每一级都通过光阑，如图4-b1所示。此时反傅里叶变换像为一些水平条纹（上下两束光叠加后的干涉条纹），如图4-b3所示。
同理我们可以调整狭缝光阑使只有水平、向左倾斜45°、向右倾斜45°的光谱的每一级都通过，如图4-c1、4-d1、4-e1中所示。此时，对应的反傅里叶变换像为一些竖直条纹、向右倾斜45°条纹和向左倾斜45°条纹，如图4-c3、4-d3、4-e3所示。
如果只让零级光谱通过，如下图4-f1中所示，经过反傅里叶变换的图像则只有一个大的高斯亮斑，如图4-f3所示。只有一束光，因此没有干涉条纹。
如果只让零级光谱和一级光谱通过，如下图4-g1中所示，丢失了高频信息，经过反傅里叶变换的图像则是一个模糊的网格图像，如图4-g3所示。
2 MATLAB模拟仿真方法与结论
MATLAB软件编程简单、易学，提供了强大的图形绘制和输出功能，可以方便地模拟傅里叶光学实验。
2.1 模拟方法
计算机模拟傅里叶光学实验的步骤与具体程序如下。
（1）构建原图像信息：直接由矩阵运算生成一幅二值物体图像，即二维光栅，调用命令imshow（ ）显示原物体图像，如图4-a4中所示。
linewidth=5；%光栅线宽，将功率谱模拟图与实验结果进行比较，调节其数字
linespan=2*linewidth；%光栅间距
O=ones（105，105）；
for i=1：linewidth
O（i：linespan：end，：）=0；
end
for i=1：linewidth
O（：，i：linespan：end）=0；
end
figure（1）
imshow（O） ； %顯示原物体图像
（2）获得频谱数据：利用MATLAB函数库中的二维离散傅里叶变换函数fft2（ ）对物体图像数据O进行傅里叶变换，得到原图像的频谱。fft2函数在进行傅里叶变换时，变换结果将0频率分量（直流成份）放在起始的位置，fftshift函数则将fft2变换后的低频频谱移至频谱的中央，这样便于观测。
n（1）=2^nextpow2（2*size（O，1）-1）； % 算出频谱数据行数，取最接近2*size（O，1）-1的
2的整数次幂
n（2）=2^nextpow2（2*size（O，2）-1）； % 算出频谱数据列数
%行数和列数为2的整数次幂，fft2函数的运行效率会大大提高。
F=fft2（O，n（1），n（2））；
SF=fftshift（F）； %
（3）显示功率谱，仿真实验结果：频谱是一个复数矩阵，利用取模函数abs（ ）对该复数矩阵取模，得到振幅谱矩阵，再开平方则可以获得光强分布矩阵（也称功率谱矩阵）。这是因为CCD和人眼在线性范围内其输出信号都与光强（功率）成正比。再用命令imshow（ ）显示原物体图像的功率谱图，如图5a中所示。由于CCD灵敏度和饱和度不同，拍摄效果与光强不一定成正比，为了真实仿真实验结果（图4-a1），显示时光强放大20倍并加了背景光强0.3，通过与实验结果比较可获得这相乘系数和背景光强数据，如图5b所示（同图4-a2）。
A=abs（SF）；%振幅谱
A=A^.2；%功率谱
figure（2）
imshow（A，[min（min（A），max（max（A））]）；%直接显示归一化功率谱
B=（A-min（min（A）））/（max（max（A））-min（min（A）））； %归一化
B=B*20； %功率谱放大
B=B+0.3； %加背景光
figure（3）
imshow（B）；
（4）构建不同形状的光阑数据H（即滤波器）。
% 不进行滤波
H=ones（n）； %与频谱数据行列数相同
% 狭缝滤波函数
H=zeros（n）；
dw=floor（（n（1）-linewidth*3）/2）； %取小于括号中数字的最大整数
H（dw：dw-1+linewidth*3，：）=1； %狭缝宽度为光栅线宽的三倍
angle=0； %水平方向是0，竖直时Pi/2，还有±Pi/4
H=imrotate（H，angle，'bilinear'，'crop'）； %将H旋转angle度
% 圆孔低通滤波
H=zeros（n）；
r=0.3； %圆孔半径所占比例
low=r*min（n）/2； % 转换后的截止半径
center1=floor（n（1）/2）；
center2=floor（n（2）/2）；
for i=1：n（1）
for j=1：n（2）
rr=sqrt（（i-center1）^2+（j-center2）^2）；
if rr<=low
H（i，j）=1；
end
end
end
% 圆孔高通滤波
之前的同低通滤波
H=1.-H
%圆环带通滤波
H=zeros（n）；endprint
r1=0.1；
r2=0.3；
low=r1*min（n）/2； % 内径
high=r2*min（n）/2； % 外径
center1=floor（n（1）/2）；
center2=floor（n（2）/2）；
for i=1：n（1）
for j=1：n（2）
rr=sqrt（（i-center1）^2+（j-center2）^2）；
if rr>=low & rr<=high
H（i，j）=1；
end
end
end
（5）对频谱进行滤波，对频谱F与光阑H的数据乘积，并显示其功率谱分布，如图4（a2～g2）中所示。
HSF=H.*SF；
C=（abs（HSF））.^2；
D=（C-min（min（C）））/（max（max（C））-min（min（C）））；
D=D*20+0.3；
figure（4）
imshow（D）；
（6）进行傅里叶逆变换，并显示其功率分布，如图4（a4～g4）中所示。
I=ifft2（ifftshift（HSF））；%逆位移后，再傅里叶逆变换
ri=abs（I）；
ri=（ri.^2）*20+0.3；
i=ri（1：size（O，1），1：size（O，2））；
figure（6）
imshow（i，[]）；
2.2 模拟结果
没有滤波、狭缝滤波和低通滤波结果如图4-a4～g4中所示。可看出，此模拟结果与图4-a2～g2中所示实验结果相符，证明以此方法作为计算机辅助实验是可行的，可以加深学生对光信息处理原理的理解。同时还可以模拟出实际上难以实现的一些实验结果，比如高通滤波、带通滤波和双圆孔滤波等，其模拟结果如图6中所示。
图6-a1、b1、a2和b2中给出了高通滤波实验结果，可看出只滤出0级时，图像整体变暗；滤出0级和1级时，可得边缘增强的图像。图4-a3和b3中给出了带通滤波实验结果，可看出只让1级通过时，二维光栅的振幅在x，y方向上都按正弦分布（只包含基频分量）。图4-a4和b4中给出了双圆孔滤波实验结果，可看出只让上下两个1级的光分量通过时，可获得水平条纹（即上下两光点的干涉条纹），且光强在y轴上呈正弦分布。
3 结语
以透镜为主的Fourier光學变换系统具有很强的实用性，特别是在光信息处理中的应用十分广泛。Matlab软件因为强大的计算模拟功能具有广泛的应用性。
本文实现了对二维光栅图像进行不同方向上的狭缝滤波和圆孔光阑（低通）滤波处理的实际实验操作和Matlab软件模拟仿真。模拟结果与实验结果相符，证明以此方法作为计算机辅助实验是可行的，不但能够加深学生对光信息处理原理的理解，同时还可以给出实际上难以实现的高通滤波、带通滤波和双孔滤波等实验的模拟结果。
傅里叶光信息处理（阿贝一波特空间滤波实验），可以让学生能够直观的了解光信息处理（图像处理）原理，对频谱的概念可以有直观的认识。
但是实验中，由于受实验条件的制约，往往不能取得预期的效果，同时有些特殊的信息处理方法实验上很难实现。而通过计算机模拟辅助实验的手段，不但可以获得更加精确的实验效果图，而且还可以不受实验仪器的限制，仿真一些实际很难观测到的现象，同时滤波器参数的随意替换可以让学生更为灵活地观察到比真实实验更多地实验现象，让学生更好地理解傅里叶光信息处理原理和频谱的概念，提高学习兴趣。为学习信息光学、信号与系统及其后续相关课程起到有效的辅助作用，有助于使用者化抽象为具体，从而更好地洞察含义、理解概念、发现规律，使教学达到更加满意的效果。
参考文献
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