...六项余弦窗函数插值FFT的谐波分析方法
马震
[摘 要]信号的谐波分析是信号处理的基本方法之一，谐波分析要求对周期信号整周期采样，否则将导致频谱泄漏。而快速傅里叶变换（fast Fourier transform，FFT）是进行谐波分析的有效方法，能够在很大程度上减小计算量。进行FFT 计算存在栅栏效应导致观测误差，采用插值算法能够对误差进行修正。
中图分类号：TM711 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2017）31-0132-02
1 引言
对谐波电流进行快速准确的检测是保证有源滤波有效工作的前提，目前应用较多的谐波分析方法有瞬时功率理论、同步坐标变换、傅里叶变换等，傅里叶变换是进行谐波分析的有效方法。傅立叶算法要求对信号整周期采样，只有在谐波的角频率为ω=2πk/T（kz）时，才能获得其准确的频谱，否则，将引起频谱泄漏和栅栏现象。频谱泄漏包括长范围泄漏和短范围泄漏两部分，长范围泄漏是由于信号截断造成的不同次谐波频谱旁瓣之间的相互干扰；短范围泄漏是指由于离散频谱的栅栏效应导致的信号峰值点观测上的偏差。采用插值算法能够对栅栏效应引起的观测误差进行修正。采用插值算法首先要计算离散谱线，直接进行离散傅里叶变换（discrete Fourier transform，DFT）计算运算量大，因此通常采用快速傅里叶变换（fast Fourier transform，FFT）算法，但FFT对数据长度有所限制，应用较多的是基2算法，即进行快速傅里叶变换的数据长度必须是 2、4、8、16 等。目前，利用插值算法对电力谐波进行分析时，通常采用采样数据长度与进行FFT的数据长度相同，且满足基2条件进行分析，不便于采样参数的选取。对于采样数据长度非基2的情况进行 FFT 计算，通常采用补零的方法使数据长度满足基2的条件，目前采用补零算法的文献大多直接采用 FFT计算结果，没有考虑补零对插值修正公式的影响。
2 插值FFT算法
设一个频率为、幅值为A、初相位为θ的单一频率信号x（t），经过采样频率为 （相应的时间间隔为）的模数变换后的离散信号形式见式（1），N为采样数据长度，n=0，1，…N-1。
x（n）= （1）
对（1）公式进行傅里叶变换，同时忽略负频点旁瓣对正频点的影响，并进行归一处理，则正频点附近的离散频谱函数为
= （2）
式中：k为经傅里叶变换计算得到的离散频谱序号，k=0，1，…，N-1；为峰值频率进行归一化后的值。
式（2）的频域特性为
=0.5{+0.5[+]}（3）
式中=，当时，sin=。
=-= （4）
当采样数据非基2时，为满足进行FFT计算基2的条件，本文采用在原有采样数据加窗计算后补零的方法（如图2（a）所示），设采样截断数据长度N非基 2，补零后的数据为
，M为正整数，补零数量为-。首先设补零后的频率修正公式为
式中：为补零后峰值点附近最大幅值谱线；为补零后与求出的最大幅值谱线对应的频率归一化后的差值，补零后相邻谱线的间隔为，从两方面对参数变化进行说明。
补零后截断数据长度从N增加到了，导致相邻谱线间隔减小，设=，则：
补零后在采样截断时间内频率为的谐波的相位變化应保持不变，设为补零后的等效采样时间间隔，则：
由式（6）得：
补零后与式（3）相对应的归一化频域特性为
式中= 。
实际上，补零后频率分辨率并没有提高，补零导致相邻谱线间隔减小，主瓣宽度为4，个谱线间隔为，而=，实际上主瓣频宽还是4个谱线间隔，补零前后离散谱线对应的连续谱线，即离散谱线的包络线是相同的。可以把离散傅里叶变换理解为连续傅里叶变换的等间距取样，补零使取样间隔更加密集了。由于取样点更加密集，因此计算的谱线值与补零前不同，可根据本文提出的算法进行计算。
当数据长度在两个基2数之间较接近于较小者而远离较大者时，采用截断方式也可使进行FFT计算的数据长度满足基2条件，但会对谱线计算结果产生一定影响。由于采样频率、采样数据长度N、频谱间隔存在着相互制约关系，需满足=，当采用截断方式时，可分两种情况说明：1）采样频率不变，N 减小后，导致截断时间长度减小，从而导致谱线间隔增加，相邻频谱之间的干扰增加；2）保持截断时间长度不变，此时不变，如果减小N，需使采样频率减小，会导致频谱分析的宽度减小。
采用补零FFT插值算法的步骤为：
选取比实际的采样数据长度N大，最接近N的基2正整数，计算补零后频谱间隔=；对N个采样数据进行加窗计算后，补-个零，进行FFT计算；
根据FFT频谱在需要计算的谐波归一化频率附近搜索幅值最大的谱线。
3 结论
本文针对傅里叶变换插值算法提出了一种改进算法，针对采样数据非基2的场合，通过补零使其满足基2的条件以便于进行FFT计算，分析了补零对插值修正公式的影响，结论如下：分析了补零后导致的相邻谱线间隔及等效采样时间的变化，给出了补零后归一化频率修正公式，结果表明原有归一化修正公式是补零后公式的特例，采用本方法得到的结果与补零前算法是一致的，增加了采样参数设置上的灵活性。
参考文献
[1] 温和，滕召胜，王永，等.改进加窗插值FFT动态谐波分析算法及应用[J].电工技术学报，2012，27（12）：270-277.
[2] 曾博，唐求，卿柏元，等.基于Nuttall自卷积窗的改进FFT 谱分析方法[J].电工技术学报，2014，29（7）：59-65.endprint
