...的高斯 勒让德数值积分公式,则有 -求解一个积分,谢谢 数学
班涛+姜冰
摘 要：为准确求出矿井巷道的横截面积，运用复化梯形求积公式法对其进行计算。复化求积法是一种先用低阶的牛顿-柯特斯公式求得每个子区间上的积分值，然后再求和，并把和作为所求积分的近似值。首先对具体问题进行分析，然后建立数学模型，根据设定的数据列出积分式子，最后用复化梯形公式求解，并通过Matlab编程来实现复化梯形公式的求积过程。最后根据得出的结果进行分析，为具体的巷道设计提供数据参考。
关键词：横截面积；矿井巷道；复化梯形公式
DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2017.13.210
煤炭工业是国民经济中的基础，它为经济生产提供原料和能源。煤炭工业生产的顺利进行，一定程度上取决于煤炭工业基本建设及开拓延伸工作能否及时、持续地提供生产煤炭的场地。为了将煤从地下采出，需从地表开始，开凿一系列的井筒、硐室及巷道以便到达煤层，这便是矿山基本建设的主体工程。其中涉及到大量的巷道断面的设计，包括巷道尺寸和横截面积的计算。设计的巷道断面直接作为井下巷道施工的依据，也是进行巷道工程概预算的依据。我国煤矿井下使用的巷道断面形状，按其构成的轮廓线可分为圆形类、拱形类、矩形类和梯形类共四大类，在此选择底板水平、两帮垂直、顶板为弧形的半圆拱断面进行数学建模并求其横截面积。
1 问题分析及模型
矿井巷道分为梯形巷道，三心拱巷道，半圆拱巷道等，本案例选择半圆拱巷道模型并求解其面积。
但实际使用这种方法往往有困難，因为大量的被积函数，找不到用初等函数表示的原函数，此时Newton-Leibniz公式不能直接运用，需要用其他有效的数值积分方法求解。在此，运用数值积分方法中的复化梯形求积公式进行求解。
2 复化梯形求积公式原理
在使用牛顿-柯特斯公式时，通过提高阶的途径并不总能取得满意的效果，为了改善求积公式的精度，一种行之有效的方法是复化求积。将积分区间分割为n等份，步长，各节点为。所谓复化求积公式，就是先用低阶的求积公式求得每个子段上的积分值，然后用作为积的近似值。在子区间上使用Newton-Cotes公式，将分割为等份，步长为，节点为记为 ，在上作的阶Newton-Cotes求积公式
3 算法的Matlab实现
3.1 实验数据
半圆拱巷道截面积求法可用数值积分中复化梯形求积公式
求得。用上述的的公式来计算半圆拱巷道截面积，（其中，矩形长，矩形宽）；同时公式（1）中的积分区间，然后将积分区间进行等分，用表示二分次数，即区间等分数，得到个小区间，，每个小区间的长度为，其中。并且按
进行计算。
3.2 Matlab程序代码
function FHQJ
k=2；
m=4；
a=0； % a，b 为区间
b=2；
epsilon=1e-3； % 精确度
fun=@（x.）sqrt（-x.^2+k*x）+m；
n =1；
h=（b-a）/2；
y0=h*（feval（fun，a）+feval（fun，b））；
yiter=y0；
while 1
step =2^（n-1）；
f=sum（feval（fun，a+（1：2：2*step-1）*h））；
y=y0/2+h*f；
if abs（y-y0）<3*epsilon
break；
end
h=h/2；
y0=y；
yiter=[yiter，y0]；
n=n+1；
end
yiter
disp（y）；
Error=double（int（'sqrt（-x^2+2*x）+4'，'x'，0，2）-y）； %%与真值误差
disp（Error）；
4 计算结果及分析
4.1 计算结果
本案例设定误差不超过10-3，在Matlab下运行程序后的结果如下（k表示二分次数）：
当运行到k=8， 即时就能满足与真实值误差不超过10-3，此时误差为0.0011。
4.2 结果分析
复化梯形求积公式能够较准确的得到实验结果yiter=9.5696，用在较少的计算量便能够达到预定精度，得到准确值与近似值的绝对误差Error=0.0011，较好的完成了巷道面积的计算问题。
5 总 结
本文建立了矿井巷道截面积的计算模型，根据半圆拱形截面积函数，运用复化梯形求积公式进行计算，并编制基于Matlab的计算程序。根据复化梯形求积公式的原理将所求函数的积分区间分为若干个小的积分区间，先求出每个小积分区间上的积分近似值，然后再将这些近似值加起来就是我们所要求的横截面积的近似值，函数区间所分的小区间的个数越多，计算结果就越精确，其原因就是所分的区间数越多，计算时每个小区所带来的误差就越小，对其求和所带来的总的误差也就越小，所以最后的结果精度就越高。本文算例结果表明该方法具有较高精度、操作简单等优点，且便于程序化。
参考文献：
[1]孙祥，徐流美，吴清.Matlab7.0基础教程[M].北京：清华大学出版社，2005.
[2]薛毅.数值分析与实验[M].北京：北京理工大学出版社，2005.
[3]林柏泉，崔恒信.矿井瓦斯防治理论与技术[M].徐州：中国矿业大学出版社，1998.
[4]煤矿瓦斯治理与应用总体方案[Z].北京：国家安全生产监督管理总局，2005.
[5]汪卉琴，刘目楼.数值分析[M].北京：冶金工业出版社，2004.
[6]李庆扬，王能超，易大义.数值分析[M].武汉：华中科技大学出版社，2006.
[7]肖伟，刘忠，曾新勇等.Matlab程序设计与应用[M].北京：清华大学出版社，2005.
[8]东兆星，吴士良.井巷工程[M].徐州：中国矿业大学出版社，2009.
作者简介：班涛（1982-），男，河南焦作人，讲师。
