系泊支架模型设计
李睿意
摘 要 本文主要研究近浅海观测网的传输节点在不同风浪流条件下，基于静力学与动力学方法，分析系泊系统的状态。
关键词 静力学；悬链法；集中质量法；迭代法
中图分类号 U6 文献标识码 A 文章编号 2095-6363（2017）11-0013-02
1 问题概述
问题1：本题使用长为22.05m的锚链以及质量为1 200kg的重物球。存在某海域，水深为18m。假设海水静止，在风速为12m/s和24m/s的前提下，计算钢桶、钢管的倾斜角度，所给锚链的形状，浮标吃水的深度以及浮标游动的区域范围。（ρ海水=1.025×103kg/m3）。
问题2：仍在问题1的条件下，设风速为36m/s，计算此时钢桶、钢管的倾斜角度，所给锚链的形状，浮标吃水的深度以及游动的区域范围。问：在钢桶倾斜角度小于等于5°，锚链与海床夹角小于等于16°的前提下，重物球的质量应为多少？
问题3：若海域实测水深为16m～20m，设计系泊系统，分析钢桶、钢管的倾斜角度，所给锚链的形状，浮标吃水的深度以及游动的区域范围。考虑风力、水深和水流力。假设海水速度最为1.5m/s、风速最大为36m/s。
针对问题1，首先在仅有风荷载的条件下，确立系统静力学模型。对浮标、钢管、钢桶在精力平衡条件下进行受力分析，建立平衡方程。进而利用悬链线控制方程对锚链相关参数进行求解。其中海面风速为12m/s和24m/s时，浮标吃水深度分别为0.727 4m和0.751 4m。解得钢桶和各节钢管的倾斜角度后，通过获得的锚链相关参数对锚链形状进行描述。由于可假设风向为任一定向，因此，确定浮标的游动区域为以静力平衡状态下系统各部件在水平方向上的投影长度总和为游动半径的圆环上。
针对问题2，基于对锚链边界条件的考量，建立集中质量法静力学模型。首先将浮标、钢管、钢管化作质点模型，对锚链按节点进行分段，分别建立静力学方程。根据第一个节点的水中质量与0的大小关系进行判断锚链的拖地情况。解得海面风速为36m/s时，浮标吃水深度为0.830 2m，对应一系列其他待求变量。根据建立的静力学方程，在浮标吃水深度、钢桶的倾斜角度、锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角的约束下，利用MATLAB编制单目标程序，找出符合条件的重物球质量取值范围为178 0kg～489 0kg。
针对问题3，相对于问题2，需要考虑当海水速度与风速在一定范围内，依据海水深度的约束条件，基于集中质量法的动力学模型，建立非线性微分方程组。根据查朗贝尔定理，写出惯性力表达式。在x与z方向上分别建立6个动力学方程，使用计算机软件进行求解。求解得到不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。
2 模型假设与符号说明
2.1 模型的假设
假设1：静力学方法中，设水流方向与风荷载方向为定向，不随时间改变。
假设2：假设浮标轴线与水平面垂直，忽略力矩的转动效应。
假设3：假设海水中流体不旋动，无流体附加质量，无摩擦。
假设4：忽略锚链几何上的非线性特性与运动响应，假设缆索的自重沿链长方向均匀分布，由同种材料组成，在拉力作用下伸长可以忽略。
2.2 模型的符号说明
：浮标的吃水深度
：浮标受到的浮力
：风的速度
：锚链张力对锚竖直方向上的分量
：第i个钢管或钢桶的拉力
：第i个钢管或钢桶与竖直方向的倾斜角度
：锚链的竖直投影长度
：锚链的水平投影长度
：浮标的游动半径
：第i个钢管或钢桶受到的重力
3 问题1的解答
3.1 模型的构建
浮标的重力G1可用假定的g及已知条件浮标质量m求得：G1=mg=12 000N
设浮标吃水深度为h，再结合海水密度ρs，从而浮标所受的浮力B可表示为
B=ρs*g*V其中：V=π*r2*h
设连接的钢管对其作用力为T1，且T1与水平方向夹角为θ1。
再由二力平衡可得：B1-G1=T1sinθ1
F1=T1cosθ1
再对4节钢管进行受力分析。
令第i节钢管所受下一节钢管的拉力为，重力为，自身与水平方向倾角为，所受浮力为。再根据受力平衡，可列出以下方程：
Ti=[（Bi-G1+Ti-1Sinθi-1）2+（ Ti-1Cosθi-1）2]1/2
θi=arc tan[（Bi-G1+Ti-1Sinθi-1）/（Ti-1Cosθi-1）]
对于四节钢管，Gi均为100N，Bi均约为2.01N。对于钢桶，Gi为钢桶本身和重物球的重力和13 000N。
对于锚链采用悬链线理论列出其控制方程：
y=（Ht/W）[cosh{sinh-1（tan（θ1））}-cosh{sinh-1
（tan（θb））}]
x=（Ht/W）[sinh-1（tan（θt）） - sinh-1（tan（θb））]
tan（θb）=（Vt-ws）/Ht Vt=Ht.tan（θt）
其中，x為系泊缆索触底点与其顶部端点的水平距离，y为顶部端点距离海底的垂直距离。Ht、Vt为系缆张力沿水平方向和竖直方向上的分量，θb为缆索在触底点与海底水平的夹角，而θt则表示系缆顶端点与水平方向的夹角。
3.2 求解与分析
对系泊系统存在如下水深条件约束：
f=h+cos（α1）+cos（α2）+cos（α3）+cos（α4）+cos（α5）+y-18
其中，为锚链竖直方向投影的长度，对在区间内取值，得关于它的函数图像后，求得零点处自变量取值。
4 问题2的解答
对于浮标，钢管等静力学分析与问题1类似。进行受力分析，表示每个节点的拉力、与水平方向的夹角，并用牛顿迭代法计算。
将整段链理想化为质点弹簧系统，把锚链分成N段，则有N+1个节点，两个节点问以直线代替曲线，考虑其弹性伸长，即可认为N段线性弹簧，每段质量集中在节点上[1]。
忽略水流力的情况下，运用正交分解，对第i节点的静力平衡条件，x，z两向的静力平衡方程式如下
X方向：Tjcosγj=Tj-1 cosγj-1
Z方向：Tjsinγj=Tj-1 sinγj-1+wj
其中为节点j与j+l的张力，为第j段与x轴的夹角，为质点j在水中的质量，即重力与浮力的
合力。
对锚链上每一段节点进行类推分析，并考虑到节点j与j+l之间弹性伸长的长度，表达出第一个节点的水中质量为：
根据第一个节点的水中质量判断，为0是边界条件正好满足，小于0就是存在海底施加的向上的支持力，也就是与底面接触。
根据坐标投影的关系每个节点在x方向的坐标为：
在竖直方向的坐标为：
其中，A为锚链的等效截面积，E为钢材的弹性模量，是上端点在x方向的水平分力，l为每一段的初始长度。
5 问题3的解答
建立二维直角坐标系，考虑第j节点的运动，设j质点的加速度在x和z方向上的分量为（，），则j质点在法向的附加惯性力为，设其在x，z方向的分力分别为，[1]。
根据牛顿第二定律，法线方向的惯性力在x方
向上：
Fnxj=mnj αxjsinγj
其中，mnj=ρ（DC2π/4）L Chn为j点法向附加质量（附加质量为物体受到外力f在真空中运动时，加速度a=f/m；但物体在空气或水等介质中作同样的运动时，加速度a
通过牛顿第二定律，求出质点j在x和z两个方向的加速度分别在法向和切向引起的惯性力的表达式及其在x，z方向的分量。
X方向的加速度引起的法向惯性力及其分量：Fnxj=mnjαxj sinγj
Xxj=FnXj sinγj= mnjαxj sin2γj
Z xj=FnXj cosγj= mnjαxj sinγj cosγj
同理，可以求解出X方向的加速度引起的切向惯性力及其分量：Fnzj=mnjαzj sinγj
Xzj=Fnzj sinγj=- mnjαzj sinγj cosγj
Zzj=Fnzj cosγj= mnjαzj cos2γj
同理，z方向也有相似的6个方程。
算出所有惯性力之后，对j质点进行受力分析，跟之前静态方程差不多，就是多了惯性力在x和z方向上用牛顿第二定律：
（Mj+mnjsin2γj+mtjcos2γj） αxj +（Atj-Anj） αzjsinγjcosγj=Fxj
（Mj+mnjcos2γj+mtjsin2γj） αzj+（Atj-Anj） αxjsinγjcosγj=Fxj
其中，为单位节点的质量，为附加质量，两个方程里含有x，z的二阶导数两个变量，可以求得x和z方向的导数：
αxj=（FxjI3-FzjI2）/（I1I3-I22）
αzj=（FzjI1-FxjI2）/（I1I3-I22）
其中，T为拉力，为角度
I1=（ Mj+mnjsin2γj+mtjcos2γj
I2=（ mtj-mnj）sinγjcosγj
I3=Mj+mnjcos2γj+mtjsin2γj
接着，对这个微分方程进行积分求解。
6 模型的评价、改进及推广
6.1 模型的评价
1）模型的优点。（1）问题1中，采用静力分析的方法，与繁杂的动力学方程相比，计算较为简洁。运用悬链线控制方程分析锚链的受力，通过离散模型和迭代的方法进行计算，算法较以实现，计算速度快。（2）问题2中，除了问题1中用到的悬链线方程，还运用集中质量法的静态分析，进行比较分析，增强了计算的准确性。（3）问题3中，本文应用集中质量法对锚链进行动力分析和计算。本文采用集中质量法对锚链的动力性能进行理论分析，并根据理论分析编程进行计算，将问题简化。
2）模型的缺点。（1）悬链线方法有过多的假设，得到是特定情形下的近似解。在实际情况中，需要考虑所有外力才能得到更为精确的解。（2）悬链式的描链用于主要用于浅海区域，在深海区这种方法不适用。（3）对系泊系统时域分析不够全面，当考虑水流力时，没有考虑到慢漂力引起的浮体纵荡和纵摇运动和动力学响应的时间历程。
6.2 模型的改进
1）综合考虑节点所受到所有外力，在水中的悬链线方程中，釆用适当的数值模拟方法进行求解。2）本文集中质量法计算积分时采取差分法，然而有限元方法的通用性強，处理不规则边界更为灵活。3）本文并未考虑实际情况中的三维运动。为了建立更符合实际的系泊系统的计算机仿真模型，应建立三自由度运动微分方程。4）动力分析中常用的还有细长弹性杆有限单元法，，只分析了悬链线模型和集中质量法，没有考虑细长杆
理论。
参考文献
[1]刘超.海洋工程锚泊系统计算与分析[D].武汉：武汉理工大学，2007.
[2]王磊.单点系泊系统的动力学研究[D].青岛：中国海洋大学，2012.
[3]王冰.基于细长杆理论的系泊缆索静力及动力分析方法研究[D].哈尔滨：哈尔滨工程大学，2013.
[4]胡灵斌，唐军.悬链线方程的求解及其应用[J].船舶，2004（1）：1-20.
